x^5>=-32 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^5>=-32 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 5       
x  >= -32

$$x^{5} \geq -32$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{5} \geq -32$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{5} = -32$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{5} = -32$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{-32}$$
или
$$x = 2 \sqrt[5]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2*1^1/5

Получим ответ: x = 2*(-1)^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = -32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (5 p \right )} + \cos{\left (5 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (5 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (5 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{5} N + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{5} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = \frac{1}{2} + 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - 2 \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = 2 \sqrt[5]{-1}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$0^{5} \geq -32$$

0 >= -32

зн. неравенство выполняется всегда

Быстрый ответ

And(-2 <= x, x < oo)

$$-2 \leq x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

[-2, oo)

$$x \in \left[-2, \infty\right)$$