x^3-x>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^3-x>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 3        
x  - x > 0

$$x^{3} - x > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{3} - x > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} - x = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$x^{2} - 1 = 0$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{x^{2}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -2 - содержит чётное число -2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}} = -1 \frac{1}{\sqrt{1}}$$
или
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Получим ответ: x = 1
Получим ответ: x = -1
или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 1$$
$$x_{5} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
Данные корни
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{3} - x > 0$$

      3           
/-11 \    -11     
|----|  - ---- > 0
\ 10 /     10     

-231     
----- > 0
 1000    

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 \wedge x < 0$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -1 \wedge x < 0$$
$$x > 1$$

Быстрый ответ

Or(And(-1 < x, x < 0), And(1 < x, x < oo))

$$\left(-1 < x \wedge x < 0\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-1, 0) U (1, oo)

$$x \in \left(-1, 0\right) \cup \left(1, \infty\right)$$