x^3-x-1>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: x^3-x-1>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 3            
x  - x - 1 > 0

$$x^{3} - x - 1 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$x^{3} - x - 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{3} - x - 1 = 0$$
Решаем:
$$x_{1} = \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{3 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{3} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}$$
подставляем в выражение
$$x^{3} - x - 1 > 0$$
$$- (- \frac{1}{10} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}) - 1 + \left(- \frac{1}{10} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}\right)^{3} > 0$$

                                                       3                                              
       /            ____________                      \         ____________                          
       |           /       ____                       |        /       ____                           
  9    |  1       /  1   \/ 69              1         |       /  1   \/ 69              1             
- -- + |- -- + 3 /   - + ------  + -------------------|  - 3 /   - + ------  - -------------------    
  10   |  10   \/    2     18             ____________|    \/    2     18             ____________ > 0
       |                                 /       ____ |                              /       ____     
       |                                /  1   \/ 69  |                             /  1   \/ 69      
       |                           3*3 /   - + ------ |                        3*3 /   - + ------     
       \                             \/    2     18   /                          \/    2     18       
    

Тогда
$$x < \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /               / 3           \    \
And\x < oo, CRootOf\x  - x - 1, 0/ < x/

$$x < \infty \wedge \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - x - 1, 0\right)} < x$$

Быстрый ответ 2

        / 3           \     
(CRootOf\x  - x - 1, 0/, oo)

$$x\ in\ \left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - x - 1, 0\right)}, \infty\right)$$

График