Предел функции asin(2*x)/x

Вы ввели

     /asin(2*x)\
 lim |---------|
x->0+\    x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}$$
$$x = \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$$
получим
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{2} \right)}}{\frac{1}{2} \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}$$

             /sin(u)\  
= 2 / (  lim |------| )
        u->0+\  u   /  

Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$

Слева и справа

     /asin(2*x)\
 lim |---------|
x->0+\    x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

     /asin(2*x)\
 lim |---------|
x->0-\    x    /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

Быстрый ответ

2

$$2$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Подробнее при x→-oo

Численный ответ

2.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 2$$
=
$$2$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График