Предел функции asin(3*x)/x

Вы ввели

     /asin(3*x)\
 lim |---------|
x->0+\    x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$$
$$x = \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$$
получим
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{3} \right)}}{\frac{1}{3} \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$3 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}$$

             /sin(u)\  
= 3 / (  lim |------| )
        u->0+\  u   /  

Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 3$$

Слева и справа

     /asin(3*x)\
 lim |---------|
x->0+\    x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$

3

$$3$$

= 3.0

     /asin(3*x)\
 lim |---------|
x->0-\    x    /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$

3

$$3$$

= 3.0

Быстрый ответ

3

$$3$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 3$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$

Численный ответ

3.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 3$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 3$$
=
$$3$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График