Предел функции asin(x)/(2*x)

Вы ввели

     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0+\  2*x  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
$$x = \sin{\left(u \right)}$$
получим
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \sin{\left(u \right)}}\right)}{2}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{2}$$

               /sin(u)\  
= 1/2 / (  lim |------| )
          u->0+\  u   /  

Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}$$

Быстрый ответ

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\pi}{4}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\pi}{4}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$

Слева и справа

     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0+\  2*x  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0-\  2*x  /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

Численный ответ

0.5

График