Предел функции asin(x)/(2*x)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение предела 😼

Знак предела
↑ Функция f(x) ?

v

Для конечных точек:

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0+\  2*x  /
limx0+(asin(x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)
Подробное решение
Возьмём предел
limx0+(asin(x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)
Сделаем замену
u=asin(x)u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}
x=sin(u)x = \sin{\left(u \right)}
получим
limx0+(asin(x)2x)=limu0+(asin(sin(u)1)11sin(u))2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \sin{\left(u \right)}}\right)}{2}
=
limu0+(asin(sin(u))sin(u))2=limu0+(usin(u))2\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{2}
=
limu0+11usin(u)2\frac{\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{2}
               /sin(u)\  
= 1/2 / (  lim |------| )
          u->0+\  u   /  

Предел
limu0+(sin(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
limx0+(asin(x)2x)=12\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}
График
02468-8-6-4-2-10100.40.7
Быстрый ответ [src]
1/2
12\frac{1}{2}
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
limx0(asin(x)2x)=12\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}
Подробнее при x→0 слева
limx0+(asin(x)2x)=12\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{1}{2}
limx(asin(x)2x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)
Подробнее при x→oo
limx1(asin(x)2x)=π4\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\pi}{4}
Подробнее при x→1 слева
limx1+(asin(x)2x)=π4\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\pi}{4}
Подробнее при x→1 справа
limx(asin(x)2x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)
Подробнее при x→-oo
Слева и справа [src]
     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0+\  2*x  /
limx0+(asin(x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)
1/2
12\frac{1}{2}
= 0.5
     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0-\  2*x  /
limx0(asin(x)2x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2 x}\right)
1/2
12\frac{1}{2}
= 0.5
Численный ответ [src]
0.5
График
Предел функции asin(x)/(2*x) /media/krcore-image-pods/1/8c/e59c905c9130669d85d7848398b78.png

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция - экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция - Квадрат x
ctg(x)
Функция - Котангенс от x
arcctg(x)
Функция - Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция - Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда
Интегральные функции:
Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях применяют следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
– умножение
3/x
– деление
x^3
– возведение в степень
x + 7
– сложение
x - 6
– вычитание
15/7
– дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция – арксеканс от x
acsc(x)
Функция – арккосеканс от x
sec(x)
Функция – секанс от x
csc(x)
Функция – косеканс от x
floor(x)
Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5) == 4.0)
ceiling(x)
Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция – Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция – гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция – гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция – гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция – гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159..
e
Число e – основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности – знак для бесконечности