Предел функции asin(x)/(5*x)

Вы ввели

     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0+\  5*x  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
$$x = \sin{\left(u \right)}$$
получим
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \sin{\left(u \right)}}\right)}{5}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{5} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{5}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{5}$$

               /sin(u)\  
= 1/5 / (  lim |------| )
          u->0+\  u   /  

Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right) = \frac{1}{5}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right) = \frac{1}{5}$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right) = \frac{1}{5}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right)$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\pi}{10}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\pi}{10}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right)$$

Быстрый ответ

1/5

$$\frac{1}{5}$$

Слева и справа

     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0+\  5*x  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right)$$

1/5

$$\frac{1}{5}$$

= 0.2

     /asin(x)\
 lim |-------|
x->0-\  5*x  /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right)$$

1/5

$$\frac{1}{5}$$

= 0.2

Численный ответ

0.2

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{5}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{5 \sqrt{1 - x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{5}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{5}$$
=
$$\frac{1}{5}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График