Предел функции atan(4*x)/x

Вы ввели

     /atan(4*x)\
 lim |---------|
x->0+\    x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}$$
$$x = \frac{\tan{\left(u \right)}}{4}$$
получим
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{4 \tan{\left(u \right)}}{4} \right)}}{\frac{1}{4} \tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u}{\tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$4 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}$$

             /tan(u)\  
= 4 / (  lim |------| )
        u->0+\  u   /  

преобразуем
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 4$$

Слева и справа

     /atan(4*x)\
 lim |---------|
x->0+\    x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right)$$

4

$$4$$

= 4.0

     /atan(4*x)\
 lim |---------|
x->0-\    x    /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right)$$

4

$$4$$

= 4.0

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 4$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right) = \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right) = \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0$$

Быстрый ответ

4

$$4$$

Численный ответ

4.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4}{16 x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 4$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 4$$
=
$$4$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График