Предел функции atan(x)/x

Вы ввели

     /atan(x)\
 lim |-------|
x->oo\   x   /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
$$x = \tan{\left(u \right)}$$
получим
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}$$

             /tan(u)\  
= 1 / (  lim |------| )
        u->0+\  u   /  

преобразуем
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{4}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{\pi}{4}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo

Слева и справа

     /atan(x)\
 lim |-------|
x->0+\   x   /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

1

$$1$$

= 1.0

     /atan(x)\
 lim |-------|
x->0-\   x   /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

1

$$1$$

= 1.0

Численный ответ

1.0

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График