Предел функции ((4 + x)/x)^x

Вы ввели

            x
     /4 + x\ 
 lim |-----| 
x->oo\  x  / 

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{4}{x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x}\right)^{x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{x}{4}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x} = e^{4}$$

Быстрый ответ

 4
e 

$$e^{4}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x} = e^{4}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x} = 5$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x} = 5$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 4}{x}\right)^{x} = e^{4}$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График