Предел функции (2 + 3*x)/x

Вы ввели

     /2 + 3*x\
 lim |-------|
x->oo\   x   /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 + \frac{2}{x}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(2 u + 3\right)$$
=
$$0 \cdot 2 + 3 = 3$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right) = 3$$

Быстрый ответ

3

$$3$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right) = -\infty$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right) = \infty$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right) = 5$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right) = 5$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right) = 3$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + 2\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + 2}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 3$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 3$$
=
$$3$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График