Предел функции 2*x/(1 + x)

Вы ввели

     / 2*x \
 lim |-----|
x->oo\1 + x/

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{1 + \frac{1}{x}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{1 + \frac{1}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2}{u + 1}\right)$$
=
$$\frac{2}{1} = 2$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right) = 2$$

Быстрый ответ

2

$$2$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right) = 2$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 2$$
=
$$2$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График