Предел функции 2*x*cot(x)

Вы ввели

 lim (2*x*cot(x))
x->0+            

$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x \cot{\left(x \right)}\right)$$

Слева и справа

 lim (2*x*cot(x))
x->0+            

$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x \cot{\left(x \right)}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

 lim (2*x*cot(x))
x->0-            

$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 x \cot{\left(x \right)}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

Быстрый ответ

2

$$2$$

Численный ответ

2.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(x \right)}} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x \cot{\left(x \right)}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x \cot{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cot^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cot^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$2$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График