Предел функции e^x/x^5

Вы ввели

     / x\
     |E |
 lim |--|
x->oo| 5|
     \x /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x^{5}}\right)$$

Быстрый ответ

oo

$$\infty$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x^{5}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x}}{x^{5}}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x}}{x^{5}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x}}{x^{5}}\right) = e$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x}}{x^{5}}\right) = e$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x}}{x^{5}}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{5} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x^{5}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{x}}{\frac{d}{d x} x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{5 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{e^{x}}{5}}{\frac{d}{d x} x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{20 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{e^{x}}{20}}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{60 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{e^{x}}{60}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{120 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{e^{x}}{120}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{120}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x}}{120}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 5 раз(а)

График