Предел функции sqrt(x) - x

Вы ввели

     /  ___    \
 lim \\/ x  - x/
x->oo           

$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right)$$
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
$$\sqrt{x} + x$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - x\right) \left(\sqrt{x} + x\right)}{\sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2} - x^{2}}{\sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x}{\sqrt{x} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + x}{\sqrt{x} + x}\right)$$

Разделим числитель и знаменатель на sqrt(x):
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{\frac{3}{2}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{u}}}{\sqrt{\frac{1}{u}} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{\sqrt{\frac{1}{0}} - \left(\frac{1}{0}\right)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{1}{0}} + 1} = -\infty$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right) = -\infty$$

Быстрый ответ

-oo

$$-\infty$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x} - x\right) = 0$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} - x\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График