Предел функции log(cot(x))*sin(x)

Вы ввели

 lim (log(cot(x))*sin(x))
x->0+                    

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Слева и справа

 lim (log(cot(x))*sin(x))
x->0+                    

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$

0

$$0$$

= 0.00186695839535581

 lim (log(cot(x))*sin(x))
x->0-                    

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$

0

$$0$$

= (-0.00187579491856189 - 0.000770194896084179j)

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = - \log{\left(\tan{\left(1 \right)} \right)} \sin{\left(1 \right)}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = - \log{\left(\tan{\left(1 \right)} \right)} \sin{\left(1 \right)}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$

Численный ответ

0.00186695839535581

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\log{\left(\cot{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График