Предел функции log(1 + x)/log(x)

Вы ввели

     /log(1 + x)\
 lim |----------|
x->oo\  log(x)  /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)$$

Быстрый ответ

1

$$1$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) = 1$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x + 1 \right)} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x \right)} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 1}\right)$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График