Предел функции log(1+x)/x

Вы ввели

     /log(1 + x)\
 lim |----------|
x->oo\    x     /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 1$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = \log{\left(2 \right)}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = \log{\left(2 \right)}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x + 1 \right)} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1}$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График