Предел функции log(sin(x))*tan(x)

Вы ввели

 lim (log(sin(x))*tan(x))
x->0+                    

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)$$

Слева и справа

 lim (log(sin(x))*tan(x))
x->0+                    

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)$$

0

$$0$$

= -0.00189820965659739

 lim (log(sin(x))*tan(x))
x->0-                    

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)$$

0

$$0$$

= (0.00187911434269187 - 0.000771396926340757j)

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = \log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)} \tan{\left(1 \right)}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = \log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)} \tan{\left(1 \right)}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)$$
Подробнее при x→-oo

Быстрый ответ

0

$$0$$

Численный ответ

-0.00189820965659739

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)} - 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)} - 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)} - 2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)

График