Предел функции -1/x + cot(x)

Вы ввели

     /  1         \
 lim |- - + cot(x)|
x->0+\  x         /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{-1 + \tan{\left(1 \right)}}{\tan{\left(1 \right)}}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right) = - \frac{-1 + \tan{\left(1 \right)}}{\tan{\left(1 \right)}}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)$$

Слева и справа

     /  1         \
 lim |- - + cot(x)|
x->0+\  x         /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)$$

0

$$0$$

= -2.63592604105512e-32

     /  1         \
 lim |- - + cot(x)|
x->0-\  x         /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)$$

0

$$0$$

= 2.63592604105512e-32

Быстрый ответ

0

$$0$$

Численный ответ

-2.63592604105512e-32

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \cot{\left(x \right)} - 1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x \cot{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x \cot^{2}{\left(x \right)} - x + \cot{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x \cot^{2}{\left(x \right)} - x + \cot{\left(x \right)}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График