Предел функции (-5 + x)/x

Вы ввели

     /-5 + x\
 lim |------|
x->oo\  x   /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{5}{x}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{5}{x}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(1 - 5 u\right)$$
=
$$1 - 0 = 1$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x}\right) = 1$$

Быстрый ответ

1

$$1$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - 5}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - 5}{x}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - 5}{x}\right) = -4$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - 5}{x}\right) = -4$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 5}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - 5\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 5\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График