Предел функции ((-5 + x)/x)^x

Вы ввели

             x
     /-5 + x\ 
 lim |------| 
x->oo\  x   / 

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 5}{x}\right)^{x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 5}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 5}{x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 5}{x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{5}{x} + \frac{x}{x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{x}{-5}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{5}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-5}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-5} = e^{-5}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 5}{x}\right)^{x} = e^{-5}$$

Быстрый ответ

 -5
e  

$$e^{-5}$$

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График