Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x}{x^{2} + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x}{x^{2} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{u}{u^{2} + 1}\right)$$
=
$$- \frac{0}{0^{2} + 1} = 0$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-1\right) x}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) x}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(-1\right) x}{x^{2} + 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(-1\right) x}{x^{2} + 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) x}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
-oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x}{x^{2} + 1}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2 x}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)