Предел функции -x^2/(1 + x)

Вы ввели

     /   2 \
     | -x  |
 lim |-----|
x->oo\1 + x/

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{1}{u^{2} + u}\right)$$
=
$$- \frac{1}{0^{2}} = -\infty$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right) = -\infty$$

Быстрый ответ

-oo

$$-\infty$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

-oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2}\right) = -\infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x^{2}}{x + 1}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$-\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График