Предел функции n/(1 + n)

Вы ввели

     /  n  \
 lim |-----|
n->oo\1 + n/

$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u + 1}$$
=
$$1^{-1} = 1$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$

Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 0$$

$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 0$$

$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$

Быстрый ответ

1

$$1$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График