Предел функции (1 - cos(x))/x

Вы ввели

     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+\    x     /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right)$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 1 - \cos{\left(1 \right)}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Слева и справа

     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+\    x     /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right)$$

0

$$0$$

= -1.17374659842979e-32

     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0-\    x     /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right)$$

0

$$0$$

= 1.17374659842979e-32

Численный ответ

-1.17374659842979e-32

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)}$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График