Предел функции (1 - x)^log(x)

Вы ввели

            log(x)
 lim (1 - x)      
x->0+             

$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{1}{\left(-1\right) x}$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - \frac{1}{\frac{1}{x}}\right)^{\log{\left(x \right)}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\tilde{\infty}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \text{NaN} \lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}{u}}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}{u}} = e^{\frac{\log{\left(- \frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}{u}}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}} = 1$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}} = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}} = 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}} = 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Подробнее при x→-oo

Быстрый ответ

1

$$1$$

Слева и справа

            log(x)
 lim (1 - x)      
x->0+             

$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}}$$

1

$$1$$

= 1.00189698053943

            log(x)
 lim (1 - x)      
x->0-             

$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 - x\right)^{\log{\left(x \right)}}$$

1

$$1$$

= (0.998051221529098 + 0.000784250585187836j)

Численный ответ

1.00189698053943

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График