Предел функции (1 + n)/n

Вы ввели

     /1 + n\
 lim |-----|
n->oo\  n  /

$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{n}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{n}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u + 1\right)$$
=
$$1 = 1$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right) = 1$$

Быстрый ответ

1

$$1$$

Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n + 1}{n}\right) = -\infty$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n + 1}{n}\right) = \infty$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n + 1}{n}\right) = 2$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n + 1}{n}\right) = 2$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right) = 1$$
Подробнее при n→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)}{\frac{d}{d n} n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График