Предел функции ((1 + n)/n)^n

Вы ввели

            n
     /1 + n\ 
 lim |-----| 
n->oo\  n  / 

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}$$
преобразуем
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n} + \frac{1}{n}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{n}{1}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} = e$$

Быстрый ответ

E

$$e$$

Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} = e$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} = 1$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} = 1$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} = 2$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} = 2$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n} = e$$
Подробнее при n→-oo

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График