Предел функции 1 + (1/2)^x

Вы ввели

     /     -x\
 lim \1 + 2  /
x->oo         

$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right)$$

Быстрый ответ

1

$$1$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) = 2$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) = 2$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) = \frac{3}{2}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) = \frac{3}{2}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) = \infty$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} 2^{x} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{- x} \left(2^{x} + 1\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2^{x} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 2^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График