Предел функции (1 + 1/x)^2

Вы ввели

            2
     /    1\ 
 lim |1 + -| 
x->oo\    x/ 

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}$$

Быстрый ответ

1

$$1$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} = \infty$$

$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} = \infty$$

$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} = 4$$

$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} = 4$$

$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} = 1$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 2 x + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)

График