Предел функции (1 + x)^(2/x)

Вы ввели

            2
            -
            x
 lim (1 + x) 
x->0+        

$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{x}}\right)^{\frac{2}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}} = e^{2}$$

Слева и справа

            2
            -
            x
 lim (1 + x) 
x->0+        

$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}}$$

 2
e 

$$e^{2}$$

= 7.38905609893065

            2
            -
            x
 lim (1 + x) 
x->0-        

$$\lim_{x \to 0^-} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}}$$

 2
e 

$$e^{2}$$

= 7.38905609893065

Быстрый ответ

 2
e 

$$e^{2}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}} = e^{2}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}} = 1$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}} = 4$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}} = 4$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{\frac{2}{x}} = 1$$
Подробнее при x→-oo

Численный ответ

7.38905609893065

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График