Предел функции (1 + x)^(7/x)

Вы ввели

            7
            -
            x
 lim (1 + x) 
x->0+        

$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{x}}\right)^{\frac{7}{x}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7 u}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{7}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{7} = e^{7}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}} = e^{7}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}} = e^{7}$$

$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}} = e^{7}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}} = 128$$

$$\lim_{x \to 1^+} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}} = 128$$

$$\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}} = 1$$

Слева и справа

            7
            -
            x
 lim (1 + x) 
x->0+        

$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}}$$

 7
e 

$$e^{7}$$

= 1096.63315842846

            7
            -
            x
 lim (1 + x) 
x->0-        

$$\lim_{x \to 0^-} \left(x + 1\right)^{\frac{7}{x}}$$

 7
e 

$$e^{7}$$

= 1096.63315842846

Быстрый ответ

 7
e 

$$e^{7}$$

Численный ответ

1096.63315842846

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График