Предел функции 5*n/(1 + n)

Вы ввели

     / 5*n \
 lim |-----|
n->oo\1 + n/

$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{1 + \frac{1}{n}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5}{1 + \frac{1}{n}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5}{u + 1}\right)$$
=
$$\frac{5}{1} = 5$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right) = 5$$

Быстрый ответ

5

$$5$$

Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right) = 5$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right) = \frac{5}{2}$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right) = \frac{5}{2}$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right) = 5$$
Подробнее при n→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(5 n\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{5 n}{n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 5 n}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 5$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 5$$
=
$$5$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График