Предел функции 5^x/x

Вы ввели

     / x\
     |5 |
 lim |--|
x->oo\x /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{x}}{x}\right)$$

Быстрый ответ

oo

$$\infty$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{x}}{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{5^{x}}{x}\right) = -\infty$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5^{x}}{x}\right) = \infty$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{5^{x}}{x}\right) = 5$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{5^{x}}{x}\right) = 5$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5^{x}}{x}\right) = 0$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} 5^{x} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 5^{x}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{x} \log{\left(5 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{x} \log{\left(5 \right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График