Предел функции 7*atan(x)/x

Вы ввели

     /7*atan(x)\
 lim |---------|
x->0+\    x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
$$x = \tan{\left(u \right)}$$
получим
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 7 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{1} \right)}}{1^{-1} \tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$7 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(u \right)} \right)}}{\tan{\left(u \right)}}\right) = 7 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\tan{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$7 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \tan{\left(u \right)}}$$

             /tan(u)\  
= 7 / (  lim |------| )
        u->0+\  u   /  

преобразуем
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(u \right)}}{u}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u \cos{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{u \to 0^+} \cos{\left(u \right)} = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 7$$

Быстрый ответ

7

$$7$$

Слева и справа

     /7*atan(x)\
 lim |---------|
x->0+\    x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

7

$$7$$

= 7.0

     /7*atan(x)\
 lim |---------|
x->0-\    x    /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

7

$$7$$

= 7.0

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 7$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 7$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{7 \pi}{4}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{7 \pi}{4}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$

Численный ответ

7.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 7 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{7}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 7$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 7$$
=
$$7$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График