Предел функции sin(x/2)/x

Вы ввели

     /   /x\\
     |sin|-||
     |   \2/|
 lim |------|
x->oo\  x   /

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \frac{x}{2}$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$

Слева и справа

     /   /x\\
     |sin|-||
     |   \2/|
 lim |------|
x->0+\  x   /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

     /   /x\\
     |sin|-||
     |   \2/|
 lim |------|
x->0-\  x   /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

Быстрый ответ

0

$$0$$

Численный ответ

0.5

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График