Предел функции sin(x/3)/x

Вы ввели

     /   /x\\
     |sin|-||
     |   \3/|
 lim |------|
x->0+\  x   /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = \frac{x}{3}$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{3}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{3}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{3}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \sin{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = \sin{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Подробнее при x→-oo

Быстрый ответ

1/3

$$\frac{1}{3}$$

Слева и справа

     /   /x\\
     |sin|-||
     |   \3/|
 lim |------|
x->0+\  x   /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right)$$

1/3

$$\frac{1}{3}$$

= 0.333333333333333

     /   /x\\
     |sin|-||
     |   \3/|
 lim |------|
x->0-\  x   /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right)$$

1/3

$$\frac{1}{3}$$

= 0.333333333333333

Численный ответ

0.333333333333333

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График