Предел функции sin(x)/(3*x)

Вы ввели

     /sin(x)\
 lim |------|
x->0+\ 3*x  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{3 u}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{3}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}$$

Слева и справа

     /sin(x)\
 lim |------|
x->0+\ 3*x  /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$

1/3

$$\frac{1}{3}$$

= 0.333333333333333

     /sin(x)\
 lim |------|
x->0-\ 3*x  /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$

1/3

$$\frac{1}{3}$$

= 0.333333333333333

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{3}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{3}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right) = 0$$

Быстрый ответ

1/3

$$\frac{1}{3}$$

Численный ответ

0.333333333333333

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{3 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)}}{3}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График