Предел функции (sin(x) + tan(x))/x

Вы ввели

     /sin(x) + tan(x)\
 lim |---------------|
x->0+\       x       /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x}\right) = \sin{\left(1 \right)} + \tan{\left(1 \right)}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x}\right) = \sin{\left(1 \right)} + \tan{\left(1 \right)}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Подробнее при x→-oo

Слева и справа

     /sin(x) + tan(x)\
 lim |---------------|
x->0+\       x       /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

     /sin(x) + tan(x)\
 lim |---------------|
x->0-\       x       /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

Быстрый ответ

2

$$2$$

Численный ответ

2.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$
=
$$2$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График