Предел функции tan(2*x)/x

Вы ввели

     /tan(2*x)\
 lim |--------|
x->0+\   x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
преобразуем
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = 2 x$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$

Быстрый ответ

2

$$2$$

Слева и справа

     /tan(2*x)\
 lim |--------|
x->0+\   x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

     /tan(2*x)\
 lim |--------|
x->0-\   x    /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$

2

$$2$$

= 2.0

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \tan{\left(2 \right)}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \tan{\left(2 \right)}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$

Численный ответ

2.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(2 x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right)$$
=
$$2$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График