Предел функции tan(k*x)/x

Вы ввели

     /tan(k*x)\
 lim |--------|
x->0+\   x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right)$$
преобразуем
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(k x \right)}}{x \cos{\left(k x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(k x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(k x \right)}} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(k x \right)}}{x}\right)$$
Сделаем замену
$$u = k x$$
тогда
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(k x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{k \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$k \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right) = k$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right) = k$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right) = k$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right) = \tilde{\infty} k \tan^{2}{\left(\tilde{\infty} k \right)} + \tilde{\infty} k$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right) = \tan{\left(k \right)}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right) = \tan{\left(k \right)}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right) = \tilde{\infty} k \tan^{2}{\left(\tilde{\infty} k \right)} + \tilde{\infty} k$$
Подробнее при x→-oo

Слева и справа

     /tan(k*x)\
 lim |--------|
x->0+\   x    /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right)$$

k

$$k$$

     /tan(k*x)\
 lim |--------|
x->0-\   x    /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right)$$

k

$$k$$

Быстрый ответ

k

$$k$$

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(k x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(k x \right)}}{x}\right)$$
=
$$k$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 0 раз(а)