Предел функции tan(x)^2/x

Вы ввели

     /   2   \
     |tan (x)|
 lim |-------|
x->0+\   x   /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

Быстрый ответ

0

$$0$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = \tan^{2}{\left(1 \right)}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = \tan^{2}{\left(1 \right)}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

Слева и справа

     /   2   \
     |tan (x)|
 lim |-------|
x->0+\   x   /

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

0

$$0$$

= 5.80343450325116e-30

     /   2   \
     |tan (x)|
 lim |-------|
x->0-\   x   /

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$

0

$$0$$

= -5.80343450325116e-30

Численный ответ

5.80343450325116e-30

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(x \right)} = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \tan{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \tan{\left(x \right)}\right)$$
=
$$0$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График