Предел функции ((3 + x)/x)^x

Вы ввели

            x
     /3 + x\ 
 lim |-----| 
x->oo\  x  / 

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{x}$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{3}{x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{x}{3}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{3} = e^{3}$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{x} = e^{3}$$

Быстрый ответ

 3
e 

$$e^{3}$$

Метод Лопиталя

К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo

График