Предел функции 3*n/(1 + n)

Вы ввели

     / 3*n \
 lim |-----|
n->oo\1 + n/

$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n}{n + 1}\right)$$

Быстрый ответ

3

$$3$$

Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n}{n + 1}\right) = 3$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3 n}{n + 1}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3 n}{n + 1}\right) = 0$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3 n}{n + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3 n}{n + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3 n}{n + 1}\right) = 3$$
Подробнее при n→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(3 n\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n}{n + 1}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n}{n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3 n}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 3$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 3$$
=
$$3$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График