Предел функции 3*x/tan(x)

Вы ввели

     / 3*x  \
 lim |------|
x->0+\tan(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
преобразуем
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\tan{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\sin{\left(x \right)}}\right) \lim_{x \to 0^+} \cos{\left(x \right)} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$3 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$3 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\tan{\left(x \right)}}\right) = 3$$

Быстрый ответ

3

$$3$$

Слева и справа

     / 3*x  \
 lim |------|
x->0+\tan(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$

3

$$3$$

= 3.0

     / 3*x  \
 lim |------|
x->0-\tan(x)/

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$

3

$$3$$

= 3.0

Численный ответ

3.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 x}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 x}{\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3}{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$3$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График