Предел функции 3*x*cot(x)

Вы ввели

 lim (3*x*cot(x))
x->0+            

$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right)$$

Слева и справа

 lim (3*x*cot(x))
x->0+            

$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right)$$

3

$$3$$

= 3.0

 lim (3*x*cot(x))
x->0-            

$$\lim_{x \to 0^-}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right)$$

3

$$3$$

= 3.0

Быстрый ответ

3

$$3$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right) = 3$$

$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right)$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right) = \frac{3}{\tan{\left(1 \right)}}$$

$$\lim_{x \to 1^+}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right) = \frac{3}{\tan{\left(1 \right)}}$$

$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right)$$

Численный ответ

3.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot{\left(x \right)}} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 x \cot{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \cot^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \cot^{2}{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}\right)$$
=
$$3$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График