Предел функции 8*x/sin(x)

Вы ввели

     / 8*x  \
 lim |------|
x->0+\sin(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$8 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$8 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}$$
Предел
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
есть первый замечательный предел, он равен 1.

Тогда, окончательный ответ:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 8$$

Быстрый ответ

8

$$8$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 8$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 8$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{8}{\sin{\left(1 \right)}}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{8}{\sin{\left(1 \right)}}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Подробнее при x→-oo

Слева и справа

     / 8*x  \
 lim |------|
x->0+\sin(x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

8

$$8$$

= 8.0

     / 8*x  \
 lim |------|
x->0-\sin(x)/

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

8

$$8$$

= 8.0

Численный ответ

8.0

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 x\right) = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 8 x}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{8}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$8$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График