Предел функции x/atan(2*x)

Вы ввели

     /    x    \
 lim |---------|
x->0+\atan(2*x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)$$

Слева и справа

     /    x    \
 lim |---------|
x->0+\atan(2*x)/

$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

     /    x    \
 lim |---------|
x->0-\atan(2*x)/

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)$$

1/2

$$\frac{1}{2}$$

= 0.5

Быстрый ответ

1/2

$$\frac{1}{2}$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right) = \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right) = \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo

Численный ответ

0.5

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

0/0,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} = 0$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x^{2} + \frac{1}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)

График