Предел функции x/(2 - x)

Вы ввели

     /  x  \
 lim |-----|
x->oo\2 - x/

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 - x}\right)$$

Подробное решение

Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 - x}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 - x}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{-1 + \frac{2}{x}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{-1 + \frac{2}{x}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{2 u - 1}$$
=
$$\frac{1}{-1 + 0 \cdot 2} = -1$$

Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 - x}\right) = -1$$

Быстрый ответ

-1

$$-1$$

Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1

$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 - x}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x}{2 - x}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{2 - x}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x}{2 - x}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x}{2 - x}\right) = 1$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2 - x}\right) = -1$$
Подробнее при x→-oo

Метод Лопиталя

У нас есть неопределённость типа

oo/-oo,

т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 - x\right) = -\infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 - x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(2 - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} -1$$
=
$$-1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)